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初三数学上册知识点总结:二次函数
编辑:admin 时间:2021-05-11 来源:中学数学网

二次函数

知识点:

  二次函数是初中数学中一个很重要的知识点,下面总结了二次函数的相关知识点,希望能帮助到大家。

一、二次函数的定义和概念

一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

注意:“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。

二、二次函数的性质

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c(a≠0)。

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax²+bx+c=0(a≠0)

此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

三、二次函数的值域

顶点坐标(-b/2a,(4αc-b²)/4α)

二次函数的基本形式为y=ax²+bx+c(a≠0)

a>0时,抛物线开口向上,图象在顶点上方,所以值域y≥(4ac-b²)/4a,即[(4ac-b²)/4a,+∞)。

a<0时,抛物线开口向下,函数的值域是(-∞,(4ac-b²)/4a]

当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。

四、二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

五、抛物线的性质

1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。

2. 抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。

3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)。

6. 抛物线与x轴交点个数:

Δ=b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

x的取值是虚数(x=-b±√b²-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)


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